征服三角函数公式混淆的战役，其意义远不止于记住了一堆s、s的变换规则。对凌凡而言，那更像是一次思维的“诺曼底登陆”，是一次从被动接收、模仿例题的“滩头阵地”，向主动应用、甚至初步改造知识来解决问题的“内陆纵深”发起的战略性突破。
他不再满足于只是准确地复现课本上的解题步骤——那种“模仿”阶段，虽然必要，但总让他感觉像是在思维的脚手架上跳舞，小心翼翼，却无法真正触摸到数学天空的穹顶。他知道，真正的数学能力，体现在面对那些披着陌生外衣、需要你自行选择并组合工具的新问题上。
机会很快来了。周五的数学课，讲完了最后一类基础题型，黑板上出现了一道老师称之为“课后思考题”的附加题。大部分同学只是抬头看了一眼，便低下头继续刷自己的练习册——这种明显超纲的题目，不属于他们的得分范围。
但凌凡的眼睛却瞬间亮了。
题目如下：“已知函数 f(x) = s2x + √3 sx sx + 2s2x。求f(x)的单调递增区间。”
没有熟悉的例题模板可以套用。s2x，s2x，sxsx……这些项像一堆散乱的积木，堆在那里，等待着有人能看出它们内在的组合规律。
教室里很安静，只有笔尖划过纸张的沙沙声。凌凡却仿佛能听到自己大脑齿轮开始加速咬合的轻微嗡鸣声。这是一种陌生的、却令人兴奋的挑战感。
他首先尝试了最直接的思路：求导。f(x) = 2sxsx + √3 (s2x - s2x) - 4sx。整理得 f(x) = -2sxsx + √3 s2x。 (因为s2x - s2x = s2x)
然后呢？f(x) ＞ 0 求单调增区间？这个表达式看起来依然复杂，涉及s2x和s2x（因为-2sxsx = -s2x），处理起来并不轻松。他卡壳了。
“直接求导，计算量太大，容易出错，不是最优解。”他立刻做出判断，放弃了这条蛮干的路。这本身就是一种进步——以前的凌凡，只会沿着一条路走到黑，或者直接放弃。
他盯着原式：s2x, √3 sx sx, 2s2x。这些二次齐次式，让他隐隐感到一丝熟悉。像什么呢？
忽然，一个火花闪过脑海！“化一公式”？ 不对，化一公式是针对asx+bsx的。那这个呢？这看起来像是……像是某个东西的展开形式？
他尝试着反向思考。如果把它看作一个关于sx和sx的二次型呢？或者，能不能把它配成一个完全平方式？
他在草稿纸上写下：s2x + 2s2x + √3 sx sx = (s2x + s2x) + s2x + √3 sx sx = 1 + s2x + √3 sx sx
还是复杂。等等！√3 sx sx 和 s2x…… 他猛地想起刚刚死磕下来的三角函数公式！“二次正弦公式”？ s2x = 2sxsx，所以 sxsx = (1/2) s2x。“降幂公式”？ s2x = (1+s2x)/2！
破局的曙光骤然降临！
他立刻动笔，重新书写： f(x)= s2x + √3 sx sx + 2s2x =(s2x + s2x) + s2x + √3 sx sx // 拆项 =1 + [(1+s2x)/2] + √3 * [(1/2) s2x] // 代入公式 =1 + 1/2 + (1/2)s2x + (√3/2) s2x =3/2 + (1/2)s2x + (√3/2) s2x
写到这一步，他几乎要欢呼出来！式子变成了一个常数项加上一个单一的正弦型函数（虽然是s和s的组合）！这熟悉的结构，正是“化一公式”的用武之地！
他强压住激动，继续推导： f(x)= 3/2 + √[(1/2)2 + (√3/2)2] * s(2x + φ) // 提取系数，合成正弦 其中，辅助角φ由 sφ= (√3/2) / 1 = √3/2, sφ = (1/2) / 1 = 1/2。 所以 φ = π/6。 因此，f(x)= 3/2 + 1 * s(2x + π/6) 即：f(x) = 3/2 + s(2x + π/6)
奇迹发生了！一个看起来杂乱无章的三角函数式，竟然被他用降幂公式和化一公式的组合拳，成功地化成了一个简洁明了的正弦型函数！
接下来的问题就变得简单至极。求单调递增区间？ 正弦函数y=s t的增区间是 t∈ [ -π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ ], k∈Z。 这里 t= 2x + π/6。 所以令-π/2 + 2kπ ≤ 2x + π/6 ≤ π/2 + 2kπ 解这个不等式： 两边同时减去π/6：-π/2 - π/6 + 2kπ ≤ 2x ≤ π/2 - π/6 + 2kπ 即：-2π/3 + 2kπ ≤ 2x ≤ π/3 + 2kπ 两边再同时除以2：-π/3 + kπ ≤ x ≤ π/6 + kπ, k∈Z
这就是f(x)的单调递增区间！