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肖宿和陶哲轩一起走向报告厅外的咖啡角。
路上，他们遇到了舒尔茨。
“Terence，肖，”舒尔茨打招呼，“在讨论什么？”
“正要聊压缩感知和数论的交叉，”陶哲轩说，“一起来？”
舒尔茨眼睛一亮：“当然！”
三人找了张靠窗的圆桌坐下。
窗外是普林斯顿的草坪和红砖建筑。
陶哲轩点了杯美式咖啡，舒尔茨要了拿铁，肖宿喝不惯，只要了一杯水。
“所以，”陶哲轩先开口，看向肖宿，“你觉得压缩感知的思想可以用到数论中？具体怎么想？”
肖宿组织了一下语言：
“素数分布是稀疏的，孪生素数对更是稀疏中的稀疏。传统筛法工具像是在大海捞针，逐个检查每个位置。但压缩感知告诉我们：如果你知道信号有特殊结构，就不需要检查所有位置，只需要一些精心设计的‘测量’就能重建全局。”
舒尔茨若有所思。
“这个类比很有意思。但数学上的‘测量’指什么？在压缩感知里，测量是线性投影。在数论里……”
“可以是某种筛法权函数的构造。”
肖宿说，“我之前尝试构造权函数来捕捉素数对之间的相关性。但现在，我觉得也许可以设计两种不同的‘测量’。”
“一种捕捉全局稀疏性，类似于传统筛法给出的素数密度估计。”
“另一种捕捉局部相关性，专门设计来检测‘间隔为2’这种特殊结构。”
陶哲轩身体微微前倾。
“继续说。”
“假设我们把所有整数n标记为一个长度为N的向量x，其中x[n]=1表示n是素数，否则为0。”
肖宿用手指在桌面上虚画，“那么孪生素数问题就是寻找那些满足x[n]=1且x[n+2]=1的位置n。”
“这可以看作在寻找一个稀疏信号。”
舒尔茨接话。
“但这个信号太稀疏了，稀疏到传统的L1最小化可能都不够强。”
“所以需要额外结构，”陶哲轩说，“在压缩感知的最新进展中，我们开始研究‘结构化稀疏’，信号的非零分量不是完全随机分布，而是以某种模式聚集。比如在图像处理中，边缘对应的非零小波系数往往形成连续的曲线。”
肖宿的眼睛亮了起来：“素数分布可能也有某种隐藏的结构化稀疏模式！不是完全随机，但也不是简单的周期性。比如素数定理给出渐近密度1
ln N，这是全局统计。但在局部，我们观察到像素数丛、素数等差数列这样的结构。”
“那么问题就变成了：如何数学地刻画这种结构？”
舒尔茨思考着，“群作用？对称性？还是某种更复杂的组合约束？”
陶哲轩喝了口咖啡，缓缓说：“我和本·格林证明素数中包含任意长的等差数列，关键工具是塞迈雷迪定理，一个关于整数子集中包含长等差数列的组合学结果，以及一种将素数‘伪装’成稠密集的技巧。”
“伪随机性，”肖宿说，“你们证明了素数在某种意义上表现得像随机集，至少在包含等差数列这个性质上是这样。”
“对，”陶哲轩点头，“但孪生素数问题更精细。它不仅要素数集有某种结构，还要这个结构具有特定的间隔模式。”