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他的手动的飞快，空白的草稿纸被逐渐填满。
定义3 (孪生条件)：两个整数和n是孪生素数对，当且仅当：
1. φ和φ(n)都是X中的“算术奇点”，即对应素数的像；
2. d(φ, φ(n)) = 2；
其中2是所有进分量差异的加权和。
如果和n是孪生素数对，比如3和5，那么对于大多数素数，|3—5|_ = | —2 |_。
对于≠2，|—2|_ = 1，因为—2不被整除。
对于=2，| —2 |_2 = 1
2，因为2整除—2一次。
所以d(φ(3), φ(5)) = Σ ω · 1 (对≠2) + ω(2) · (1
2)。
因为Σ ω发散，所以这个和发散。
所以3和5在加权度量下的距离是无穷大？
肖宿皱起眉头。
不对，这样定义有问题。
他意识到，如果直接用原始定义，任何两个不同整数的距离都是无穷大，因为对无穷多个，|—n|_ = 1。
加权和自然发散。
需要修改。
也许不是所有都计入？
也许只有那些对“区分”和n有贡献的才计入？
肖宿托腮思考了一会儿，他觉得定义2还不够完备。
定义2在实际计算中，应该只考虑那些|—n|_ ≠ 0的，即不整除—n。
对于这些，|—n|_ = 1。
所以d(φ, φ(n))正比于这些的权重和。
当—n固定时，这个和发散，所以需要正规化。
减去发散项，留下有限部分。
肖宿自已曾经在《数学发明》那篇论文中用过类似的技巧：对于素数计数函数的误差项，减去主项后，剩余部分可以用一个收敛的级数表示。
在这里也可以用同样的方法。
定义2' (正规化加权度量)：定义正规化距离d?(φ, φ(n)) = li_{X→∞} [ Σ_{≤X, ?(—n)} ω Σ_{≤X} ω
]
这个定义的精妙之处在于，第一项求和是对所有不整除(—n)的素数，第二项减去的是所有素数的某种平均。
当X→∞时，两个发散项抵消，留下一个有限值。
肖宿开始估算这个值。
对于固定的差值k=—n，不整除k的素数占比大约是∏_{|k} (1—1
)。
所以第一项约等于(∏_{|k} (1—1
)) · Σ_{≤X} ω。
第二项是Σ_{≤X} ω
。
两者相减后，主项抵消，剩下的是一个收敛级数。
当k=2时，只有=2整除k。
所以∏_{|k} (1—1
) = 1—1
2 = 1
2。
因此：d?(φ, φ(n)) = li [ (1
2)·Σ_{≤X} ω Σ_{≤X} ω
] + 有限修正= li Σ_{≤X} ω·(1
2 1
) + 有限修正
当很大时，(1
2 1
)趋近于1
2，所以这个级数发散，除非ω衰减得足够快。
ω = (—1)
· log~ log 。
乘以(1
2 1
)后，仍然~ (1
2) log ，求和发散。
又卡住了。
肖宿揉了揉紧绷的太阳穴。
也许ω需要重新设计。
也许应该让ω衰减得快一些，比如ω = log
？
但这样在之前的有理点估计中就不够用了。