元旦的钟声还在空气中回荡，图书馆自习室里的四个人已经开始了新一年的第一个专题研究。凌凡站在白板前，手中的彩笔在阳光下闪着微光。
数形结合，他在白板上写下这四个字，这可能是人类智慧史上最伟大的发明之一——把抽象的数字和具体的图形联系起来。
苏雨晴面前摊开着几份试卷，上面那些他们曾经束手无策的难题，现在成了今天的研究对象。我记得这道物理题，她指着一道复杂的运动学综合题，当时我们算了整整三页草稿纸。
林天拿起那份试卷：如果用数形结合的方法，可能半页就够了。
赵鹏一脸好奇：数形结合？是不是就是画图解题？
比那更深刻。凌凡在白板上画了一个直角坐标系，它是在数和形之间建立桥梁，让抽象的数学关系变得可视，让复杂的几何问题变得可算。
专题从一道经典的数学题开始：求一个复杂函数的最值。按照常规方法，需要求导、找驻点、判断单调性...过程繁琐容易出错。
现在我们换个思路。凌凡在白板上画出这个函数的图像。当曲线在坐标系中呈现出来时，最值点一目了然——就在那个明显的波峰处。
天啊！赵鹏惊呼，这么简单？
这就是图形的威力。凌凡说，它把抽象的数值关系变成了直观的空间关系。
接下来是物理题。那道让苏雨晴头疼的运动学综合题，描述了一个物体做复杂的变速运动。凌凡没有立即列方程，而是先画出了运动的速度-时间图像。
当v-t图呈现在白板上时，奇迹发生了。那些繁琐的运动阶段变得清晰可见：加速段、匀速段、减速段...每一段的位移就是对应图形的面积。
所以这道题其实是个几何问题？赵鹏恍然大悟，求几个图形的面积和？
正是如此。凌凡用不同颜色标出各个阶段的位移，用图像理解，比用公式计算直观太多了。
随着专题的深入，四人开始在各种题目中寻找数形结合的机会。他们发现，这个方法几乎无处不在：
在数学的函数性质研究中，图像能直观展现单调性、奇偶性、周期性；
在物理的力学分析中，受力图、运动图、能量图能把复杂过程可视化；
就连化学的反应进程，也可以用浓度-时间图像来理解...
我以前做题就是硬算，赵鹏感慨，现在才知道先画图有多重要。
最精彩的突破发生在下午。林天提出了一道他思考很久的难题：如何理解波函数这种既抽象又重要的概念？
波函数是量子力学的核心，林天说，但它太抽象了，很多人只能死记硬背公式。
凌凡沉思片刻，在白板上画出了一个简谐波的图像：我们先从经典的波开始理解。